如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）求二面角B1-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C1-B1CD的体积．
网友回答
（Ⅰ）证明：连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC1，
∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）解：过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B1F，则∠B1FB为二面角B1-DC-B的平面角
∵AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，∴由等面积可得=
∴BF=
∵AA1=4，∴B1F=
∴二面角B1-DC-B的平面角的余弦值为=；
（Ⅲ）解：三棱锥C1-B1CD的体积等于三棱锥D-C1B1C的体积，即==4．
解析分析：（Ⅰ）连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点，由此能够证明AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B1F，则∠B1FB为二面角B1-DC-B的平面角，由此可得结论；（Ⅲ）三棱锥C1-B1CD的体积等于三棱锥D-C1B1C的体积，由此可得结论．
点评：本题考查直线与平面的垂直的判定，二面角的求法，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．