解答题如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）若，AB=2，AA1=，求点A到平面BEC1的距离；
（Ⅲ）当为何值时，二面角E-BC1-C的正弦值为？
网友回答
（Ⅰ）证明：连接B1C交BC1于点F，连接EF，则F为B1C的中点
∵E是AC中点，∴EF∥AB1，
∵AB1?平面BEC1，EF?平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）解：由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1，
过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，∴CH为点C到平面BEC1的距离
在直角△CEC1中，CE=1，CC1=，C1E=，∴由等面积可得CH=
∴点A到平面BEC1的距离为；
（Ⅲ）解：过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
当AA1=2a，AB=b时，
∵
∴在直角△CGH中，sin∠CGH===
∴b=2a
∴==1
∴=1时，二面角E-BC1-C的正弦值为．解析分析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点F，连接EF，则F为B1C的中点，根据E是AC中点，可得EF∥AB1，从而可证AB1∥平面BEC1；（Ⅱ）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作CH⊥C1E于点H，则可证CH⊥平面BEC1，故CH为点C到平面BEC1的距离，由等面积可得结论；（Ⅲ）过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角，求出CH、CG，利用二面角E-BC1-C的正弦值为，即可求得结论．点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出表示点面距离的线段，正确作出面面角，属于中档题．