在△ABC中，已知，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为________．

网友回答

解析分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量 ，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用?利用基本不等式求解最小值．

解答：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设 ，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12==（7+）≥ 故所求的最小值为．故