已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当时，则椭圆方程为A.B.C.D

网友回答

D

解析分析：由长轴长易求a值，设P（x0，y0），直线l方程为y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），由可得一等式，再由P在椭圆上可得一等式，由两式可消去y0，由P为椭圆任意点可知该式与x0无关，由此可求得b值．

解答：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，设P（x0，y0），直线l方程为y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），则KPM=，KPN=，由得，?=-，即=-，所以=（4k2+1）-①，又P在椭圆上，所以，即，代入①式得4b2-=（4k2+1）-，所以4b2=（4k2+1）+（b2-1），因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，所以b2-1=0，解得b=1，所以所求椭圆方程为．故选D．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查恒成立问题，解决本题的关键是正确理解“点P的任意性”，难度较大．