解答题已知数列a1=1，a2=2，．
（1）求a3，a4的值；
（2）证明：任意相邻三项不可能有两个偶数；
（3）若，求n的值．
网友回答
（1）解：∵a1=1，a2=2，∴a3=5a2-3a1=7，a4=5a3-3a2=29…（2分）
（2）证明：假设an，an+1，an+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，不妨设an，an+1为偶数，
由已知3an-1=5an-an+1或an-1=an-an+1，得an-1必为偶数，
以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，…（5分）
若有不相邻两项为偶数，不妨设an，an+2为偶数，由已知5an+1=3an+an+2或an+1=an+an+2得an+1必为偶数，
以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，
故，任意相邻三项不可能有两个偶数…（8分）
（3）解：由n=1，2显然满足题意，…（10分）
下证：n≥3时，无满足题意的n，
设使得an是4的倍数的最小下标为m，则由（1）知m＞4，
由于am是偶数，由（2）知am-1，am-2为奇数，…（12分）
再由已知条件知am-3为偶数…（13分）
又am-1=5am-2+am-3或am=am-1+an-2得3am-3=4am-2-am，
从而am-3也为4的倍数，与假设矛盾，…（15分）
综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得，
故n=1，2，…（16分）解析分析：（1）根据a1=1，a2=2，及数列递推式可求a3，a4的值；（2）假设an，an+1，an+2中存在两项为偶数，不妨设an，an+1为偶数，由已知3an-1=5an-an+1或an-1=an-an+1，得an-1必为偶数，以此类推，可得a1为偶数；同理若有不相邻两项为偶数，可得a1为偶数，与已知条件矛盾；（3）由n=1，2显然满足题意，再证：n≥3时，无满足题意的n即可．点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法思想的运用，属于中档题．