解答题已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求证：数列{bn}为等比数列；
（2）记Tn为数列的前n项和，是否存在实数a，使得不等式对?n∈N+恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）∵an+1=an2+2an，∴an+1+1=an2+2an+1，∴=2log2（an+1），
∵bn=log2（an+1），∴=2，∴数列{bn}为等比数列．
（2）∵数列{bn}为等比数列，b1=1，q=2，∴bn=2n-1，∴==-，
∴Tn=1-+-+…+-=1-＜1，∵不等式对?n∈N+恒成立，
只要 ≥1=log0.50.5? 即可，即 ，即?，
解得-≤a＜0，或? ＜a≤1，故a的取值范围 为[-，0）∪（，1]．解析分析：（1）有条件可得 =2log2（an+1），变形可得 =2，从而数列{bn}为等比数列．（2）求出数列的通项为 -，可得Tn =1-＜1，要使不等式对?n∈N+恒成立，只要 ≥1? 即可，即 ，解不等式组求得a的取值范围．点评：本题主要考查数列求和和的方法，等比关系的确定，以及函数的恒成立问题，寻找使不等式对?n∈N+恒成立的条件，是解题的难点．