解答题设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当在定义域上的单调性

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解：（1）函数f（x）=（x-1）2+mlnx，可得函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2（x+1）+==（x＞0）
当m时，可知f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当时，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当时，，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当时，令f'（x）=0得，，…（6分）
①当m≤0时，，则，
列表：
x（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗由此看出，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点．…（8分）
②当时，0＜x1＜x2＜1，
列表：
x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗由此看出，当时，f（x）有极小值点和极大值点．
综上，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点，
当时，f（x）有极小值点和极大值点．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，
此时，函数f（x）有唯一极小值点，
当时，f'（x）＜0，f（x）在上是减函数，
∵n≥3时，，
∴，即
∴n≥3时，．
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），则
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵n≥3时，1，∴f（1），即
∴n≥3时，ln（n+1）-lnn
综上，当n≥3，n∈N时，不等式恒成立．解析分析：（1）求导数，通过m，x＞0，可判导数为正，可推f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）对m进行分类讨论，分别依据极值的定义进行分析，注意分类要做到不重不漏；（3）要证明的问题即是当m=-1时的函数，通过构造函数分析函数的单调性得出结论．点评：本题为导数和不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想和极值的求解，属中档题．