解答题如图，已知矩形AA1B1B中，AA1=2，AB=1，若矩形AA1C1C是矩形AA1B1B绕AA1旋转而成，记二面角B-AA1-C的大小为θ，θ∈（0，π），E是BC的中点．
（1）求证：无论θ为何值，A1C∥平面AEB1；
（2）求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值的取值范围．
网友回答
解：（1）取B1C1中点F，连接EF，A1F，
∵FE∥AA1，FE=AA1，∴FEAA1为平行四边形，∴A1F∥AE，
∵A1F?面AEB1，∴A1F∥面AEB1，
又CF∥B1E，CF=B1E，CF?面AEB1，
∴CF∥面AEB1，∴面A1CF∥面AEB1，
∴A1C∥面AEB1．
（2）∵AC⊥AA1，AB⊥AA1，∴∠CAB=θ，，如图，建立空间直角坐标系，
∴E（0，0，0），A（0，cos，0），B（sin，0，0），C（-sin，0，0），B1（sin，0，2），
∴=（sin，-cos，0），=（-sin，-cos，0），═（2sin，0，2），
设平面ACB1的法向量=（x，y，z），
则-xsin-ycos=0，2xsin+2z=0，
=（cos，-sin，-sincos）=（cos，-sin，-sinθ），
∴cos＜，＞==∈（0，]，
所以直线AB与平面ACB1所成角的正弦值的取值范围为（0，]．解析分析：（1）取B1C1中点F，连接EF，A1F，要证明A1C∥平面AEB1，只需证明面A1CF∥面AEB1，进而转化为线面平行即可；（2）向量法：建立空间直角坐标系，转化为求平面ACB1的法向量与向量的夹角余弦值解决．点评：本题考查线面平行的判定、线面角的求解以及面面平行的性质，考查空间向量的坐标运算，考查学生分析问题解决问题的能力．