已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3的值，并求{an}的通项公式；
（2）设bn=2n?an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．
网友回答
解：（1）由已知，2Sn=an2+an-2（n∈N*）①
得：a1=2，a2=3，a3=4，…（2分）
又2Sn+1=an+12+an+1-2②
由②-①得；?（an+1-an-1）（an+1+an）=0，（an＞0）
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1．?…（4分）
（2）由（Ⅰ）知bn=（n+1）?2n它的前n项和为Tn，
Tn=2?21+3?22+4?23+…+n?2n-1+（n+1）?2n ①
2Tn=2?22+3?23+4?24+…+n?2n+（n+1）?2n+1 ②
①-②：-Tn=2?21+22+23+24+…+2n-（n+1）?2n+1
=
=-n?2n+1
∴Tn=n?2n+1…（8分）…（6分）
（3）∵an=n+1，∴cn=4n+（-1）n-1λ?2n+1，
要使cn+1＞cn恒成立，
∴cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ?2n+2-（-1）n-1λ?2n+1＞0恒成立
∴3?4n-3λ?（-1）n-12n+1＞0恒成立，
∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．???????????????…（9分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立
当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，
∴λ＜1．…（11分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立
当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．…（13分）
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，
都有cn+1＞cn．…（14分）
解析分析：（1）由2Sn=an2+an-2（n∈N*），得：a1=2，a2=3，a3=4，又2Sn+1=an+12+an+1-2，故an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．由此能求出{an}的通项公式．（2）由bn=（n+1）?2n，其前n项和Tn=2?21+3?22+4?23+…+n?2n-1+（n+1）?2n，由错位相减法能求出Tn．（3）由an=n+1，知cn=4n+（-1）n-1λ?2n+1，要使cn+1＞cn恒成立，则cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ?2n+2-（-1）n-1λ?2n+1＞0恒成立，故（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．?由此能得到存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是计算繁琐，容易失误．解题时要认真审题，仔细解答．