已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）若的值；（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）?f（-x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．

网友回答

解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．…（1分）
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0．…（3分）
∴===；…（6分）
（Ⅱ）由题知F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx?F（x）=cos2x+sin2x+1…（10分）
∴当时，．…（11分）
由解得，单调递增区间为???．…（12分）

解析分析：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；（II）先求出F（x）=cos2x+sin2x+1=（2x+）+1，然后就可以求出最大值和单调区间．

点评：此题考查了三角函数的化简求值以及复合函数的单调性，熟练掌握公式是解题的关键，同时注意“1”和sin2x+cos2x的灵活转化，属于中档题．