已知a＞0，函数f（x）=+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=时，求f（x）的最小值；（Ⅲ）当a=1时，设

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解：（1）∵若f（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数，
则．
即，∵x∈[1，+∞），∴，∴a≥1
（Ⅱ）当a=时，，
由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2
∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数．
∴f（x）min=f（2）=ln2-1
（Ⅲ）当a=1?时，由（Ⅱ）知；在[1，+∞）上为增函数，
∵
又∵当x＞1时，f（x）＞f（1），∴
令
从而可以知道，函数g（x）在[1，+∞）上是递增函数，
所以有g（x）＞g（1）=0，即得x-1＞lnx．
综上有：1-，
∴；
令x=1，2，…，n-1，（n∈N*，且n≥2）时，不等式也成立，于是代入，
将所得各不等式相加，得
，
即．
即∴

解析分析：（Ⅰ）先求出f’（x），利用它是单调增函数，得含参的不等式然后利用恒成立问题求得a的范围．（Ⅱ）将a的值代入得f（x）的表达式，然后用求导的方法判断其单调性，从而求出函数f（x）的最小值．（Ⅲ）先构造两个不等式，并给出证明，然后将x=1，2，…，n-1代入不等式，化简即证．

点评：此题考查利用求导的方法判断函数的单调性求最值．