填空题若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1内接于半径为R的半球，上底面顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，则该正四棱柱体积的最大值为________．
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解析分析：在图形中令球心为O，连接OA1，OA，令OA1与底面的夹角为α，则可用球的半径R与α的三角函数值将棱柱的高与底面边长表示出来，由此可以将棱柱的体积表示成解α的函数，求这个三角函数的最大值即可得到该正四棱柱体积的最大值解答：如图在图形中令球心为O，底面边长为a，连接OA1，OA，令OA1与底面的夹角为α，由图OA1=R，则棱柱的高是Rsinα，底面正方形的对角线长的一半是Rcosα即a=2Rcosα，由此得底面边长是Rcosα故正四棱柱的体积是V=2R2cos2α×Rsinα=2R3cos2αsinαV'=2R3（-2cosαsin2α+cos3α）=2R3cosα（-2+3cos2α）令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos2α=，即sin2α=，sinα=由此知正四棱柱体积的最大值为V=2R3××=故