解答题已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x

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解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-x2-x
∴f′（x）=-2x-1=
∵函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值
∴f′（x）=0，∴∴a=1
???????? ?即f′（x）==?（x＞-1）
????????? 由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得 x＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-）=ln（x+1）-x2+，x∈（0，2）
??? ?则g′（x）=
???? 令g′（x）=0得x=1或x=-（舍去）
???? 当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减
??? 方程f（x）=-在区间（0，2）上有两个不等的实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点
∴
∴
???? 即实数b的取值范围是解析分析：要求函数f（x）的单调区间，就需要求函数的导数，但在函数解析式中有参数a所以先跟据函数在x=0处取得极值求的a=1，然后根据利用单数判断单调性的步骤来做即可．在第二问中，先把方程转化为函数g（x），方程有两个不等的实根也就相当于函数在（0，2）上有两个不同的零点．根据函数零点的判断，可得g（0）＜0，g（1）＞0，g（2）＜0．点评：1、利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断方法和步骤；2、如果函数y=f（x）在区间[a，b]上图象是连续不断的曲线，并且有 f（a）f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，即至少存在一个数c∈[a，b]使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的一个根．