解答题已知数列{an}的首项a1=5，an+1=2an+1．（1）证明：数列{an+1

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解：（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2an+2=2（an+1），
又∵a1=5，得a1+1=6≠0
∴=2，即数列{an+1}是以6为首项，公比等于2的等比数列．…（5分）
（2）由（Ⅰ）知an+1=6×2n-1=3×2n，所以an=3×2n-1…（7分）
从而Tn=（3×2-1）+2（3×22-1）+3（3×23-1）+…+n（3×2n-1）
=3（2+2×22+3×23+…+n×2n）-（1+2+3+…+n）
令Pn=2+2×22+3×23+…+n×2n，得2Pn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
相减得，Pn=n×2n+1-（22+23+24+…+2n）-2=（n-1）2n+1+2，
∴Tn=3[（n-1）2n+1+2]-（n2+n）=3（n-1）2n+1-（n2+n-12）…（9分）
所以2Tn-（23n2-13n）=12（n-1）2n-12（2n2-n-1）=12（n-1）（2n-2n-1）…①
当n=1时，①式等于0，所以2Tn=23n2-13n；
当n=2时，①式等于-12＜0，所以2Tn＜23n2-13n
当n≥3时，n-1＞0且2n＞2n+1，所以，①式符号为正，从而2Tn＞23n2-13n．…（13分）解析分析：（1）根据已知等式变形可得=2，结合首项a1=5，得列{an+1}是以6为首项，公比等于2的等比数列．（2）由等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等差数列的求和公式，算出Tn=3（n-1）2n+1-（n2+n-12），将此代入2Tn，再与23n2-13n作差因式分解，最后再对n进行讨论，不难得出2Tn与23n2-13n的大小．点评：本题给出数列的递推公式，求数列的通项并且比较两个式子的大小，着重考查等比数列、错位相减法，考查灵活运用知识解决问题的能力，属于中档题．