解答题已知函数.
(Ⅰ)当a=1时,函数y=f(x)有几个极值点?
(Ⅱ)是否存在实数a,使函数有两个极值?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
网友回答
解:(Ⅰ)当a=1时,函数f(x)=,其定义域为(0,+∞).
f′(x)=lnx+1-x.
令g(x)=f′(x)=lnx+1-x,则,
令g′(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当1<x时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴当x=1时,函数g(x)取得极大值,也即最大值,∴g(x)≤g(1)=0,即f′(x)≤0.
虽然f′(1)=0,但是在x=1的两侧都有f′(x)<0,故x=1不是函数f(x)的极值点.
因此函数f(x)没有极值点.
(Ⅱ)f′(x)=lnx+1-ax,
函数f(x)有两个极值?f′(x)=0在(0,∞)上有两个不等实数根,且每一个根两侧导数异号
?直线x=a与函数h(x)=由两个交点.
∵,
∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
∴当x=1时,函数h(x)取得极大值,也是最大值,画出图象如下:
由图象可知:实数a的取值范围是(0,1).解析分析:(Ⅰ)利用导数结合极值的定义即可判断出结论;(Ⅱ)把问题等价转化,利用导数研究函数的单调性,即可得出结论.点评:正确把问题等价转化,熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值等性质是解题的关键.