解答题已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…an（x），an+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-1．
网友回答
解：（1）由题意可得 ak（x）=?，k=1、2、3，…n+1，
故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为 =1，?=，=．
再由2×=1+，解得 n=8．
（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+nan（x）+（n+1）an+1（x）
=+2?（）+3?+（n+1）?，
∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．
设Sn=+2+3+…+（n+1），则有Sn=（n+1）+n+…+3+2+．
把以上2个式子相加，并利用=?可得 2Sn=（n+2）[+++…+]=（n+2）?2n-1，
∴Sn=（n+2）?2n-2．
当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，
恒有|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）=2n-1（n+2）-1，命题得证．解析分析：（1）由题意可得 ak（x）=?，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F（x）的解析式求得 F（2）═+2+3+…+（n+1），设Sn=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得Sn=（n+2）?2n-2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）=2n-1（n+2）-1．点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．