已知函数,(a>0,且a≠1)(Ⅰ)求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数;(Ⅱ)对于x∈[2,4]恒成立,求m的取值范围;(Ⅲ)当n≥2,且n∈N*时,试比较af

发布时间:2020-07-31 22:41:57

已知函数,(a>0,且a≠1)
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)对于x∈[2,4]恒成立,求m的取值范围;
(Ⅲ)当n≥2,且n∈N*时,试比较af(2)+f(3)+…+f(n)与2n-2的大小.

网友回答

解:(Ⅰ)由,解得x<-1或x>1,∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
∴在定义域上是奇函数.
(Ⅱ)由x∈[2,4]时,恒成立,
①当a>1时,∴对x∈[2,4]恒成立,
∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立,设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],
则g(x)=-x3+7x2+x-7,,
∴当x∈[2,4]时,g'(x)>0,∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15,∴0<m<15.
②当0<a<1时,由x∈[2,4]时,恒成立,
∴对x∈[2,4]恒成立,∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],由①可知y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,
g(x)max=g(4)=45,∴m>45.
(Ⅲ)∵=,∴
当n=2时,,2n-2=2,∴af(2)+f(3)+…+f(n)>2n-2,
当n=3时,,2n-2=6,∴af(2)+f(3)+…+f(n)=2n-2,
当n≥4时,2n-2,下面证明:当n≥4时,2n-2.
证明:当n≥4时,2n-2=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2+…+Cnn-1,
∴当n≥4时,2n-2.
解析分析:(Ⅰ) 先求出定义域,利用对数的性质证明f(-x)=-f(x),故函数在定义域内是奇函数.(Ⅱ) ①当a>1时,有 对x∈[2,4]恒成立,即0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立,利用导数求得(x+1)(x-1)(7-x)的最小值为15,得到 0<m<15.②当0<a<1时,m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立,利用导数求得 (x+1)(x-1)(7-x) 的最大值为45,故m>45.(Ⅲ) n=2 时,af(2)+f(3)+…+f(n)>2n-2. n=3 时,af(2)+f(3)+…+f(n)=2n-2.当n≥4时,af(2)+f(3)+…+f(n)<2n-2.??? n≥4时,由?2n-2=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2+…+Cnn-1?得到证明.

点评:本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,函数的恒成立问题,用放缩法证明不等式,用放缩法证明不等式是解题的难点.
以上问题属网友观点,不代表本站立场,仅供参考!