在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N+．（1）求

网友回答

解：（1）∵数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，nSn+1-（n+3）Sn=0，
∴a1+a2-4a1=0，a1=1，解得a2=3．
∵2an+1为bn与bn+1的等比中项，
∴4a2=b2b1，b1=4，解得b2=9．
（2）由题设nSn+1-（n+3）Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，
进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，
由此猜想an=，bn=（n+1）2，n∈N+．
先证an=，n∈N+．
当n=1时，a1=，等式成立．
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
当n=2时，a2=，等式成立．
假设n=k时等式成立，即ak=，k≥2．
由题设，kSk+1=（k+3）Sk，①
（k-1）Sk=（k+2）Sk-1．②
①的两边分别减去②的两边，整理得kak+1=（k+2）ak，
从而ak+1=ak=?
=．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
综上可知，等式an=对任何的n∈N+都成立．
再证bn=（n+1）2，n∈N+，
当n=1时，b1=4，∴等式成立．
假设n=k时，等式成立，即bk=（k+1）2，
那么n=k+1时，
∵（2ak+1）2=bk?bk+1，
∴[2?]2=（k+1）2?bk+1．
∴bk+1=（k+2）2=[（k+1）+1]2．
∴n=k+1时等式成立．
∴综上知，bn=（n+1）2，n∈N+．

解析分析：（1）由数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，nSn+1-（n+3）Sn=0，知a1+a2-4a1=0，a1=1，由2an+1为bn与bn+1的等比中项，知4a2=b2b1，b1=4，由此能求出a2，b2的值．（2）由题设nSn+1-（n+3）Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，由此猜想an=，bn=（n+1）2，n∈N+．先证an=，n∈N+．再证bn=（n+1）2，n∈N+．

点评：本题考查数列中某一项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意合理地进行猜想和数学归纳法的合理运用．