解答题已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设x1，x2，x3为方程f（x）=0的三个根，且x1∈（-1，0），x2∈（0，1），x3（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：|a|＞1．
网友回答
解：（1）解：由题意，得f′（x）=-3x2+2ax?
令f′（x）=0，解得x=0或x=
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得a＜x＜0，
∴f（x）在（，0）上是增函数，与题意不符，舍去??????
当a=0时，由f′（x）=-3x2≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数与题意不符，舍去???
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜
∴f（x）在（0，）上是增函数，
又∵f（x）在（0，2）上是增函数，
所以≥2，解得a≥3???
综上，a的取值范围为[3，+∞）?????????
另解：要使f（x）在（0，2）上是增函数，只需f′（x）在（0，2）上恒大于或等于零
∵f′（x）=）=-3x2+2ax?的图象是开口向下的抛物线，且过定点（0，0）
∴只需，即
a≥3，即a的取值范围为[3，+∞）??????
（2）解：因为方程f（x）=-x3+ax2+b=0最多只有3个根，
由题意得在区间（-1，0）内仅有一根，
∴f（-1）f（0）=b（1+a+b）＜0，①
由题意得在区间（0，1）内仅有一根，
∴f（0）?f（1）=b（-1+a+b）＜0??????②
当b=0时，∵f（0）=0，
∴f（x）=0有一根0，这与题意不符，
∴b≠0
当b＞0时，由①得1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由②得-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＜-b-1＜-1，
即a＜-1????
当b＜0时，由①得1+a+b＞0，即a＞-b-1，
由②得-1+a+b＞0，即a＞-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＞-b+1＞1，
即a＞1??
综上，|a|＞1解析分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x）=-3x2+2ax，f′（x）=0的两个根分别为x=0或x=，为了求函数的单调增区间，需讨论a与0的关系，结合已知函数f（x）在（0，2）上是增函数，区间（0，2）应为函数单调增区间的子区间，从而求得a的范围，也可根据导函数的图象开口向下，过（0，0）的特点，只需导函数在（0，2）上恒大于或等于零，即解得a的范围．（2）由于一元三次方程最多三个根，且x1∈（-1，0），x2∈（0，1），x3（-∞，-1）∪（1，+∞），由根的存在性定理，f（-1）×f（0）＜0，且f（0）×f（1）＜0，得关于a和b的不等式，分别讨论b＞0，b=0，b＜0，证明满足题意的a的绝对值恒大于1点评：本题考查了导数在函数单调性中的应用，已知函数的单调性求参数范围的解决方法，函数的零点存在性定理与方程根的分布的关系，分类讨论的思想方法