解答题已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆短轴长为半径的圆与y=

发布时间:2020-07-09 01:19:25

解答题已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切.
(1)求a与b;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,直线l过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1与点P.求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并说明曲线类型.

网友回答

解:(1)e=,∴=,
又b==,∴a=,b=.
(2)由(1)知F1,F2分别为(-1,0),(1,0),
由题意可设P(1,t),(t≠0)那么线段PF1中点为N(0,),
设M(x,y)是所求轨迹上的任意点,由=(-x,-y),=(-2,-t)
则,
消t得y2=-4x(x≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分.解析分析:(1)由题意以原点为圆心,椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切.圆心到直线的距离等于半径,以及离心率解得a与b.(2)求出焦点坐标,设出P求出N,再设M、(x,y),利用垂直关系可求得轨迹方程.点评:本题考查直线与圆的位置关系,轨迹方程,椭圆的性质等知识,是综合性较强的题目.
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