解答题定义F(x,y)=yx(x>0,y>0).(1)设函数f(n)=(n∈N*),求

发布时间:2020-07-09 01:19:25

解答题定义F(x,y)=yx(x>0,y>0).
(1)设函数f(n)=(n∈N*),求函数f(n)的最小值;
(2)设g(x)=F(x,2),正项数列{an}满足;a1=3,g(an+1)=,求数列{an}的通项公式,并求所有可能乘积aiaj(1≤i≤j≤n)的和.

网友回答

解:(1)∵F(x,y)=yx(x>0,y>0).
∴f(n)==,
∴==,
由于2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,
当n≥3时,f(n+1)>f(n);?当n<3时,f(n+1)<f(n),
所以当n=3时,f(n)min=f(3)=;…(6分)
(2)∵g(x)=F(x,2)=2x,
∴g(an+1)=,
又∵g(an+1)==,
所以an+1=3an,而a1=3,所以an=3n;…(9分)
设所求的和为S,
则S=a1?a1+(a1+a2)?a2+…+(a1+a2+…+an)?an…(11分)
=3?31+(3+32)?32+…+(3+32+…+3n)?3n…(12分)
=?31+?32+…+?3n
=
=
=…(14分).解析分析:(1)由题意可得f(n)==,要求f(n)的最小值,只要判断f(n)的单调性,利用比较法中的比商:=,只要判断2n2与(n+1)2的大小即可判断(2)先由 条件可求g(x)=F(x,2)=2x,代入可得g(an+1)=,结合g(an+1)==,可得an+1与an的递推关系,进而可求通项,设所求的和为S,则S=a1?a1+(a1+a2)?a2+…+(a1+a2+…+an)?an利用分组求和的可求点评:本题主要考查了利用单调性求解函数的最值,及分组求和方法、等比数列的通项公式的应用,属于函数与数列知识的综合应用.
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