已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y恒有等式f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)>0.给出如下结论:①f(0)=0;②f(x)是R上

发布时间:2020-07-31 19:22:52

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y恒有等式f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)>0.给出如下结论:
①f(0)=0;
②f(x)是R上的增函数
③f(x)在R上不具有单调性;
④f(x)是奇函数.
其中正确结论的序号是A.①③B.②④C.①②④D.①③④

网友回答

C
解析分析:根据性质f(x+y)=f(x)+f(y)成立与当x>0时,f(x)>0,代入特值0验证①;根据函数的单调性定义,构造x1<x2,证明f(x2)-f(x1)与0的大小验证②③;根据函数奇偶性的定义构造f(-x)验证是否=-f(x)验证④.

解答:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0,∴①√;∵f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x),令x1<x2,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴②√;由②正确,∴③×;∵x∈R,f(-x)=-f(x),∴④√;故
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