已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
网友回答
解：（1）由已知，所以，
所以a2=4b2，c2=3b2所以
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
所以b=1
所以
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
设AB：y=k（x-3）与椭圆联立得
整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0得
=
由点P在椭圆上得，36k2=t2（1+4k2）
又由，即
所以
所以（1+k2）（x1-x2）2＜3（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜3（1+k2）＜3
整理得：（8k2-1）（16k2+13）＞0
所以
所以
由36k2=t2（1+4k2）得
所以3＜t2＜4，所以或．
解析分析：（1）利用离心率求得a和c关系，进而利用椭圆方程中a，b和c的关系求得a和b的关系，最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b，则a可求得，椭圆的方程可得．（2）设出A，B，P的坐标和AB的直线方程与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用求得k和t的关系，把点P坐标代入椭圆的方程，利用求得k的范围，进而利用k和t的关系求得t的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．