解答题已知a＞1，f（logax）=．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）为R上的增函数；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．
网友回答
解：（1）令t=logax（t∈R），
则x=at，f（t）=，
∴f（x）=（x∈R）．
（2）当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y=是减函数，y=-是增函数．
∴y=为增函数，
又∵＞0，
∴f（x）=是R上的增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，y=是增函数，y=-是减函数．
∴y=为减函数．
又∵＜0，
∴f（x）=是R上的增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（-x）==-=-f（x），且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），
由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得：1＜m＜．解析分析：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）；（2）先对a进行分类讨论，再利用指数函数单调性，以及复合函数的单调性进行证明；（3）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解，故由f（1-m）+f（1-m2）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．点评：本题是有关函数性质的综合题，考查了换元法求解析式，指数函数和复合函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求有关函数值的不等式等等，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．