如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．
（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；
（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．
网友回答
证明：（1）∵A1B⊥面ABC，∴A1B⊥AC，------（1分）
又AB⊥AC，AB∩A1B=B
∴AC⊥面AB1B，------（3分）
∵AC?面A1AC，
∴平面A1AC⊥平面AB1B；------（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（02，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
所以 ，．
所以 ，
故AA1与棱BC所成的角是 ．??????????…（8分）
（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）．?????????????????????…（10分）
设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则
令z=1故 ???????????????????????????????…（12分）
而平面ABA1的法向量 =（1，0，0），则 =
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 ．???????????????…（14分）
解析分析：（1）因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，得到A1B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB1B，从而可证平面A1AC⊥平面AB1B．（2）建立空间直角坐标系，求出 ，，利用向量的数量积公式求出棱AA1与BC所成的角的大小；（3）求出平面PAB的法向量为 ，而平面ABA1的法向量 =（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．
点评：本题以三棱柱为载体，考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．