已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）；（Ⅲ）由点H（0，h）向f（x）引切线，切点分别

网友回答

解：（I）f（x）是偶函数，证明如下：
当x＞0?时，-x＜0，有：f（x）=x2+x-2?
f（-x）=（-x）2-（-x）-2=x2+x-2=f（x）；
当x＜0?时，-x＞0，有：f（x）=x2-x-2?
f（-x）=（-x）2+（-x）-2=x2-x-2=f（x）；
当x=0，也有f（-x）=f（x），
又函数的定义域为R，关于原点对称，∴f（x）是偶函数；
（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，
若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1和x2关于原点O对称，
从而x1+x2=0，∴f（x1+x2）=-2；
（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°，
∴其斜率k=，
当x＞0时，f（x）=x2+x-2，∴f′（x）=2x+1，
设P（m，n），则2m+1=，且m2+m-2=n，
解得：m=，n=-，
故切线PH的方程为：y+=（x-），令x=0得y=，
即h=．

解析分析：（I）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1和x2关于原点O对称，从而求出f（x1+x2）；（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°，求出其斜率k，再结合导数几何意义求出点P（m，n）的坐标，从而得出切线PH的方程，最后令x=0即可．

点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数奇偶性的判断、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．