解答题求下列函数的值域（1）y=1+sinx+cosx+sin2x?x∈[-π，π]

网友回答

解：（1）由题意得，y=1+sinx+cosx+sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx=sin（x+），∵x∈[-π，π]，∴t∈[-，]；
且sinxcosx=（t2-1），
代入解析式得，y=t2+t+=（t+1）2，t∈[-，]，
当t=-1时，函数有最小值是0；当t=时，函数有最大值是+，
∴函数的值域是[0，+]，
（2）由题意得，y=-cos3xcosx=y=-cos4x，
∵-1≤cosx≤1，∴0≤cos2x≤1，∴-1≤-cos4x≤0，
即函数的值域是[-1，0]．解析分析：（1）根据解析式t=sinx+cosx，利用两角和的正弦公式进行化简后，由x的范围求出t的范围，由对t的式子两边平方后，由平方关系求出sinxcosx，代入解析式转化为关于t的二次函数，对式子配方后利用二次函数的性质求出最值，就求出值域；（2）把解析式化简后，根据cosx的范围，求出cos2x的范围，进而求出函数的值域．点评：本题的考点是复合三角函数的值域的求法，主要利用换元法和“sinx+cosx”与“sinxcosx”的关系，注意由函数的定义域和正弦（余弦）函数的值域，求出换元后的自变量的范围，根据二次函数的性质求出函数的值域．