解答题已知：如图，圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），
①求线段PQ的长；
②求证：直线PQ与圆O相切．
网友回答
（1）解：设椭圆C的标准方程为
因为圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，所以|AB|=2
∵曲线C是以AB为长轴，∴，∴
∵椭圆的离心率为，
∴c=1，
∴
∴此椭圆的标准方程为
（2）①解：由（1）知椭圆的左焦点F（-1，0），而点P（1，1）
所以直线PF的方程为，即
直线QO的方程为y=-2x，而椭圆的左准线方程为x=-2，所以点Q的坐标为（-2，4）
因此|PQ|=3
②证明：直线PQ的方程为：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0
而点O到直线PQ的距离为d=
所以直线PQ与圆O相切解析分析：（1）因为，所以c=1，由此能得到椭圆C的标准方程；（2）①根据过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q，可求Q的坐标，从而可求线段PQ的长；②直线PQ的方程为：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用点O到直线PQ的距离，可证直线PQ与圆O相切．点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，合理运用椭圆的几何性质．