解答题已知数列{an}满足：a1=3，an+1an+2an+1=3an+2，n∈N+，记．
（Ⅰ）?求证：数列bn是等比数列；
（Ⅱ）?若an≤t?4n对任意n∈N+恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
网友回答
解：（Ⅰ）证明：∵an+1an+2an+1=3an+2，∴，∴
两式相除得
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由an≤t?4n得易得是关于n的减函数，∴，∴（8分）
（Ⅲ）．∴
=．∴．（13分）解析分析：（Ⅰ）由条件先得，再分别表示∴an+1-2，an+1+1，两式相除，可得数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，对an≤t?4n分离参数得，从而可解；（Ⅲ）由于，利用放缩法可证．点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．