在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.满足2acosC+ccosA=b.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.
网友回答
解:(Ⅰ)由正弦定理及2acosC+ccosA=b.
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中,A+B+C=π,
∴A+C=π-B,即sin(A+C)=sinB.
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0<A<π,0<C<π,
∴sinA>0.
∴cosC=0
∴C=
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C=,
∴,即B=.
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-
∵0,
∴当sinB=,即时,sinAcosB+sinB取得最大值.
解析分析:(Ⅰ)由已知及正弦定理可得2sinAcosC+sinCcosA=sinB,结合三角形的内角和定理及两角和的三角公式可求C(Ⅱ)由(Ⅰ)得C=,B=,代入sinAcosB+sinB,利用同角平方关系及二次函数的性质可求最大值
点评:本题主要考查了正弦定理、和差角及同角基本关系、二次函数的最值求解等知识的综合应用,本题具有一定的综合性