解答题在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．
（1）试判断数列是否成等差数列；
（2）设{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）若λan+≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
网友回答
解：（1）∵数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*），
∴an-1-an=3anan-1，
∴（n≥2）．
故数列{}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得bn==1+（n-1）×3，
所以bn=3n-2，
∴Sn==．
（3）将an==代入λan+≥λ并整理得λ（1-）≤3n+1，
∴λ≤，
原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设Cn=，
则Cn+1-Cn=＞0，Cn+1＞Cn，
∵n=2时，Cn的最小值C2为，
∴λ的取值范围是（-∞，]．解析分析：（1）由已知可得（n≥2）．由此能够证明数列{}是等差数列．（2）由（1）的结论可得bn==1+（n-1）×3，所以bn=3n-2，由此能求出Sn．（3）将an==代入λan+≥λ，并整理得λ（1-）≤3n+1，故λ≤，原命题等价于该式对n≥2恒成立．由此能够求出实数λ的取值范围．点评：本题考查等差数列的判断、数列前n项和公式的求法和求实数λ的取值范围．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．