∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解：解法1：可得所求二重积分=∫（-π/2 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2：由对称性,上式又=2∫（0 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=R3/3(π-4/3).为什么这两个式子得出的结果不一样,明
网友回答
πR3/3是错了,你算错了,
因为=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ 注意要取绝对值!
∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy
=∫∫ r√(R²-r²) drdθ
=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] r√(R²-r²) dr
=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R²-r²) d(r²)
=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ
=(2R³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ
=(2R³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]
=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]
=(2R³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]
=(2R³/3)[π/2 -1 + 1/3]
=(2R³/3)[π/2 - 2/3]
=(R³/3)[π - 4/3]
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.显然用极坐标解：解法1：可得所求二重积分=∫（-π/2 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,解法2：由对称性,上式又=2∫（0 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=R3/3(π-4/3).为什么这两个式子得出的结果不一样,明(图1)
供参考答案2:
你仔细想，那个域不是对称的