求由圆柱面x2+y2=2ax,旋转抛物面az=x2+y2及z=0所围成的立体的体积

网友回答

在电脑上画这种图确很困难,就免了吧!
此类二重积分最好用极坐标进行计算.
积分域D:由x²+y²=2ax,得(x-a)²+y²=a²,这是一个园心在
(a,0,0),以a为半径的园(取a＞0).基于积分域和被积函数的对称性,
可取位于第一挂限内的半个园作积分域,此时θ由0积到π/2,r由0积
到2a.由az=x²+y²,得被积函数z=x²/a+y²/a.
于是所围体积V=2∫∫(D/2)[(x²+y²)/a]dxdy
=2∫∫(D/2)[r²(cos²θ+sin²θ)/a]rdrdθ
=2∫(0,π/2)dθ∫(0,2a)(r³/a)dr
=2(π/2)·(2a)^4/4a=4πa³.