三角形ABC的外接圆半径为R,角C=60度,（a+b)/R的最大值为多少写出过程

网友回答

设外接圆的圆心为O,
则对于三角形OAB,OA=OB=R,∠AOB=2∠C=120度,所以c=√3*R.
对于三角形ABC运用余弦定理,可得
c^2=(√3*R)^2=3R^2=a^2+b^2-2ab*cos(60度)=a^2+b^2-ab.
所以(a+b)^2/R^2=3(a+b)^2/(3*R^2)=3(a+b)^2/(a^2+b^2-ab)
=3(1+3ab/(a^2+b^2-ab))≤3(1+3ab/(2ab-ab))≤12
所以(a+b)/R≤2√3,当且仅当a=b即三角形ABC为等边三角形时等号成立.