已知函数f(x)在R上有定义,且满足f(x)+xf(1-x)=x,求f(x)的表达式,求f(x)的值

网友回答

因为 f(x)+xf(1-x)=x,…………①
上式中把x用1-x替换,得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x,…………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x,…………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2,
因为(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4>0对∀x∈R成立,
所以f(x)=x^2/(x^2-x+1).
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
因为 f(x)+xf(1-x)=x， …………①
上式中把x用1-x替换，得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x， …………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x， …………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2，
因为(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4>0对∀x∈R成立，
所以f(x)=x^2/(x^2-x+1)。