解答题已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
网友回答
（1）解：∵y= x2，∴y′=，y′|x=n=，
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程为：y-=（x-n），
令y=0，则x=，即an=；（3分）
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n-an=??（5分）
（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn
∴n=，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形???（9分）
（3）证明：∵===（-）（11分）
∴Sn=（1-+-+…+-）=（1-）＜
又1-随n的增大而增大，
∴当n=1时，Sn的最小值为：（1-）=，
∴≤Sn＜（14分）解析分析：（1）利用导数，求得点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程，令y=0，可得an=，根据点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，可得an+cn=2n，由此可求数列{an}，{cn}的通项公式；（2）若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn，由此可知存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形；（3）===（-），从而可求Sn=（1-），进而可知≤Sn＜．点评：本题考查导数的几何意义，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，考查数列与解析几何的综合，属于中档题．