如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．

网友回答

（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．???????
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1．??????????????????????????????????…（5分）
因为DC1?平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．???????????????????…（7分）
（2）（证法一）?
连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．?????????????????????…（11分）
因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．?????????????????????????????????…（14分）
（证法二）?
取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．
因为C1D?平面ADC1，D1B?平面ADC1，
所以D1B∥平面ADC1．
同理可证A1D1∥平面ADC1．
因为A1D1?平面A1BD1，D1B?平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1．??????????????????????????…（11分）
因为A1B?平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．???????????…（14分）

解析分析：（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1∥平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．

点评：本题考查了线面垂直和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键．遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形．