解答题已知等差数列{an}中,公差d>0,a2=9,且a1a3=65.数列前n项和Sn满足2Sn=3n+1-3(n∈Nn)
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(II)设cn=anbn,求数列{cn)的前n项和Tn
(III)设,若d2k+1>d2k对k∈N*恒成立,求λ的取值范围.
网友回答
解:(I)∵a2=9,a1a3=65,∴(9-d)(9+d)=65,∴d=±4
∵d>0,∴d=4,∴a1=5,∴an=4n+1;
∵2Sn=3n+1-3,∴n≥2时,bn=Sn+1-Sn=3n
又n=1时,b1=3,∴bn=3n;
(II)cn=anbn=(4n+1)?3n
∴Tn=5×3+9×32+…+(4n+1)?3n①
∴3Tn=5×32+9×33+…+(4n-3)?3n+(4n+1)?3n+1②
②-①整理可得2Tn=-15-4×32-4×33-…-4?3n+(4n+1)?3n+1=4+(4n-1)?3n+1
∴Tn=
(III)∵,d2k+1>d2k对k∈N*恒成立,
∴32k+1+(-1)2k(22k+2+2)λ>32k+(-1)2k-1(22k+1+2)λ
∴对k∈N*恒成立,
令f(k)=,则f(k+1)-f(k)==<0
∴函数是减函数,∴k=1时,f(k)max=-
∴λ>.解析分析:(I)利用a2=9,a1a3=65可求数列{an}的通项公式;利用2Sn=3n+1-3,再写一式,两式相减,可求数列{bn}的通项公式;(II)利用错位相减法,可求数列{cn)的前n项和Tn;(III),d2k+1>d2k对k∈N*恒成立,等价于对k∈N*恒成立,求出右边的最大值,即可求λ的取值范围.点评:本题考查数列的通项,考查错位相减法,考查恒成立问题,分离参数,确定函数的最值是关键.