如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0〕,B(3,4〕,C(0,4〕.点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度向A运动,同时点Q从B点出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点Q作?QD丄x轴,垂足为点D,交AC于点E.
(1)求△APE的面积S与运动时间t(单位:秒)的函数关系式,并写出自变量t的?取值范围;
(2)当t为何值时,S的值最大;
(3)是否存在点P,使得△APE为直角三角形?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
网友回答
解:(1)经过t秒时,BQ=t,OP=2t,则CQ=3-t,AP=4-2t,
∵A(4,0〕,C(0,4〕.
∴AO=CO,
∵∠AOC=90°,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∵CB∥AO,
∴∠BCA=∠OAC=45°,
∴QE=CQ=3-t,
∴DE=1+t,
∴S△APE=AP×DE=(4-2t)(1+t)=-t2+t+2(0≤t≤2).
∴S=-t2+t+2(0≤t≤2);
(2)S=-t2+t+2,
=-+,
∵0≤t≤2,
∴当t=时,S的值最大.
(3)存在,
若∠AEP=90°,则DE是等腰直角三角形APE底边AP上的高,
∴DE=AD=AP,
∴1+t=(4-2t),
解得:t=,
∴P的坐标是(1,0);
若∠APE=90°,则此时PE与DE重合,
∴PE=DE=PA,
1+t=4-2t,
t=1,
∴P的坐标是(2,0),
综上所述P的坐标为(1,0)或(2,0).
解析分析:(1)求出BQ、OP、CQ、AP的值,求出DE的值,根据三角形的面积公式求出即可;(2)把二次函数的解析式化成顶点式,即可求出