解答题已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最值；
（3）解关于x的不等式f（bx2）-f（x）＞f（b2x）-f（b）（b2≠2）．
网友回答
解：（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
设x1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＜0．
∴f（x2-x1）＜0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）为R上的减函数．
（2）∵f（x）为R上的减函数
∴f（x）为[-4，4]上是减函数
∴f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4）
最小值f（4）=f（1+3）=f（1）+f（3）=4f（1）=-8
最大值f（-4）=-f（4）=8
（3）∵f（bx2）-f（x）＞f（b2x）-f（b）
∴
∵f（）=2f（）∴
∴
∴bx2-b2x＜2x-2b
∴bx2-（2+b2）x+2b＜0，
若b=0，则{x|x＞0}；若b≠0，则b（x-）（x-b）＜0
当-＜b＜0时，则{x|x＜或x＞b}
当b＜-时，则{x|x＜b或x＞}
当0＜b＜时，则{x|b＜x＜}
当b＞时，则{x|}解析分析：1）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；（2）由（1）可得f（x）为[-4，4]上是减函数，则f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4），利用赋值法可求（3）根据f（x）为R上的减函数也是奇函数，原不等式可转化为bx2-（2+b2）x+2b＜0，解二次不等式可求x的范围点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．