已知数列{an}满足8an+1=an2+m（n，m∈N*），且a1=1．
（1）求证：当m=12时，1≤an＜an+1＜2；
（2）若an＜4对任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．
网友回答
证明：（1）①当n=1时，a1=1，又8a2=12+a12，，
∴1=a1＜a2＜2．
②假设n=k时，1≤ak＜ak+1＜2成立，
当n=k+1时，有8ak+2=12+ak+12＜12+22=16，
∴ak+2＜2成立，
由假设ak2＜ak+12有8（ak+2-ak+1）=ak+12-ak2＞0，
∴ak+2＞ak+1≥ak≥1，
∴1≤ak+1＜ak+2＜2．
故由①，②知，对任意n∈N*都有1≤an＜an+1＜2成立．
（2）由于=，，
①当m＞16时，显然不可能使an＜4对任意n∈N*成立，
②当m≤16时，an＜4对任意n∈N*有可能成立，
当m=16时，a1＜4，
假设ak＜4，由8ak+1=16+ak2＜16+42，ak+1＜4．
所以m=16时，对任意n∈N*都有an＜4成立，
所以m≤16时，an＜4，
故m的最大值是16．
解析分析：（1）求得当n=1时，根据a1=1求得a2，判断出1=a1＜a2＜2．进而假设n=k时，1≤ak＜ak+1＜2成立，求得n=k+1时，求得ak+2＜2，由假设ak2＜ak+12有8（ak+2-ak+1）=ak+12-ak2＞0，整理得ak+2＞ak+1≥ak≥1，最后综合证明原式．（2）整理8an+1=an2+m得an+1-an=判断出结果大于或等于，进而判断出分析当当m＞16时，显然不可能使an＜4对任意n∈N*成立，当m=16时，a1＜4，假设ak＜4，由8ak+1=16+ak2＜16+42，ak+1＜4．判断出m=16时，对任意n∈N*都有an＜4成立，进而求得m的最大值为16．
点评：本题主要考查了根据数列的递推式判断数列的单调性和数列中的恒成立问题．考查了考生的推理和分析的能力．数列是高考的热点问题，每年必考要强化复习．