解答题设各项均为正数的数列{an}项和为Sn，且满足：2Sn=an2+an（n≥1，n∈N）．
（1）求a1和an；
（2）设，判断Tn与2的大小关系，并说明理由；
（3）设集合M=（m|m=2k，k∈N且1000≤k≤2011），若存在m0∈M，使对满足n＞m0的一切正整数n，不等式恒成立，问这样的正整数m0共有多少个？
网友回答
解：（1）∵，①
当n=1时，，
且an＞0，得a1=1．
当n≥2时，，②
①-②，得，
化简得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
而an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，
即{an}是以1为公差的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，
∴，
即，
∴
=2（1-）＜2．
∴Tn＜2．
（3）∵，
∴n＞2010，
∴m0的最小值为2010．
由题设知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，
∵m∈M，
∴m=2010，2012，…，4022均满足条件．
设有k个数，则2010+2（k-1）=4022，k=1007．
故这样的正整数m0共有1007个．解析分析：（1）由，知当n=1时，，且an＞0，得a1=1．当n≥2时，，得，故（an+an-1）（an-an-1）=0，an-an-1=1，故an=n．（2）由an=n，知，故，由裂项求和法能够导出Tn＜2．（3）由，知n＞2010，故m0的最小值为2010．由题设知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，由此能够求出满足条件的正整数m0的个数．点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．