解答题已知函数．（1）讨论当a＞0时，函数f（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）的

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解（1）由题设知a≠0，f'（x）=3ax2-6x=3ax（x-）
令f'（x）=0?x=0，x=
当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，故在（-∞，0）上递增；
若x∈（0，），则f'（x）＜0，故在（0，）上递减；
当x∈（，+∞）时，则f'（x）＞0，在（，+∞）上递增．
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，
且函数y=f（x）在x=0，x=处分别取得极值f（0）=1-，f（）=-+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以f（0）f（）≤0，
即（-+1）（1-）≤0?≤0．?a（a+1）（a-1）（a-4）≤0且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
所以实数a的取值范围[-1，0）∪[3，4]．解析分析：（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负来求函数的单调区间，进而讨论出函数f（x）的单调性；（2）先求出曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，把线段AB与x轴有公共点转化为f（0）f（）≤0，再解不等式即可求出实数a的取值范围．（注意前提限制）．点评：本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．