如图,设P,Q为△ABC内的两点,且AP向量=2/3AB向量+1/4AC向量,AQ向量=3/5AB向量+1/3AC向量,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
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如图,设P,Q为△ABC内的两点,且AP向量=2/3AB向量+1/4AC向量,AQ向量=3/5AB向量+1/3AC向量,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(图2)分别延长 AP、AQ 交 BC 于 M、N ,并设 AM=xAP ,AN=yAQ ,
则 AM=xAP=2x/3*AB+x/4*AC 且 M、B、C 三点共线,因此 2x/3+x/4=1 ,解得 x=12/11 ,
同理由 AN=yAQ=3y/5*AB+y/3*AC 得 3y/5+y/3=1 ,解得 y=15/14 ,
所以 BM=AM-AB=8/11*AB+3/11*AC-AB= -3/11*AB+3/11*AC= 3/11*BC ,
同理 BN=AN-AB=9/14*AB+5/14*AC-AB= -5/11*AB+5/14*AC=5/14*BC ,
由此得 BM=42/55*BN ,
那么由 SABP：SABM=|AP|：|AM|=11：12 ,
SABM：SABN=|BM|：|BN|=42：55 得 SABP：SABN=(11/12)*(42/55)=7：10 ,
而 SABQ：SABN=|AQ|：|AN|=14：15 ,
所以 SABP：SABQ=(7/10)/(14/15)=3：4 .