如图所示，在三棱柱A1B1C1-ABC中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC．AC=BC=CC1=2．（1）若点D、E、F分别为棱CC1、C1B1、CA的中点，求证：EF

网友回答

证明：连接C1F，∵AA1⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴AA1⊥AC．
∵AC=CC1=2，D、F分别为棱CC1、CA的中点，
∴CF=DC1=1，A1C1=CC1=2．
∵∠C1CF=∠A1C1D=90°，
∴Rt△C1CF≌Rt△A1C1D．
∴∠CC1F=∠DA1C1．
∵∠DA1C1+∠A1DC1=90°，
∴∠DC1F+∠A1DC1=90°，
∴A1D⊥C1F．
∵AC⊥BC，
∴A1C1⊥B1C1，
∵B1C1⊥AA1，AA1∩A1C1=A1，
∴B1C1⊥平面AA1CC1．
∴B1C1⊥A1D．
∵B1C1∩C1F=C1，
∴A1D⊥平面C1FE．
∵EF?平面C1FE，
∴A1D⊥EF．同理可证BD⊥EF．
∵A1D∩BD=D，
∴EF⊥平面A1BD；
（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以C1B1、A1B1、AB、CB的中点E、G、M、N所确定的平面为截面，
把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体
（该长方体的一个底面为长方形C1EE′A1如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16．

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切割拼接方法二：如图乙所示，设A1B1、AB的中点分别为M、N，以四点C1、M、N、C所确定的平面为截面，
把三棱柱A1B1C1-ABC切开后的两个几何体再拼接成一个长方体
（该长方体的一个底面为正方形C1MA1M′），此时所拼接成的长方体的表面积为4+8．

解析分析：（1）连接C1F，由已知中AA1⊥底面ABC，由线面垂直的性质得到AA1⊥AC，然后证得Rt△C1CF≌Rt△A1C1D，进而A1C1⊥B1C1，由线面垂直的性质定理证得B1C1⊥平面AA1CC1后，可得B1C1⊥A1D，进而可得EF?平面C1FE，即A1D⊥EF．同理可证BD⊥EF．最终再由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面A1BD；（2）我们可以分别以C1B1、A1B1、AB、CB的中点E、G、M、N所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体；也可以分别以A1B1、AB的中点分别为M、N，以四点C1、M、N、C所确定的平面为截面，把三棱柱A1B1C1-ABC切开后的两个几何体再拼接成一个长方体．分别求出正方体的长宽高，即可求出其表面积．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱柱的体积，其中（1）的关键是要熟练空间中线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，（2）的关键是根据棱柱的结构特征，寻找出合适的拼接方法．