解答题在数列{an}中,a1=1,a2=1,an+1=λan+an-1
(I)若是公比为β的等比数列,求α和β的值.
(II)若λ=1,基于事实:如果d是a和b的公约数,那么d一定是a-b的约数.研讨是否存在正整数k和n,使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数,如果存在求出k和n,如果不存在请说明理由.
网友回答
(I)∵数列{bn}是公比为β的等比数列,∴bn=βbn-1,∴an+1-αan=β(an-an-1)…(2分)
即an+1=(α+β)an-αβan-1,又,
∴…(4分)∴α,β是方的两根,
∴…(6分)
(II)假设存在正整数k,n使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数d,
d也是(kan+3+an+1)-(kan+2+an)即k(an+3-an+2)+k(an+1-an)的约数,
依题设an+3-an+2=an+1,an+1-an=an-1,
∴d是kan+1+an-1的约数…(8分)
从而d是kan+2+an与kan+1+an-1的公约数
同理可得d是kan+an-2的约数依此类推,d是ka4+a2与ka3+a1的约数…(10分)
又a1=1,a2=1,故a3=2,a4=3,
于是ka4+a2=3k+1,ka3+a1=2k+1???????…(12分)
又∵(3k+1)-(2k+1)=k,∴d是k的约数和2k+1的约数,
∴d是(2k+1)-k即k+1的约数
从而d是(k+1)-k即1的约数,这与d>1矛盾
故不存在k,n是kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数.解析分析:(I)根据an+1=λan+an-1,,数列bn是公比为β的等比数列,可求得an+1=(α+β)an-αβan-1,又,从而可求得α,β的值;(II)可假设存在正整数k,n使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数d,d也是(kan+3+an+1)-(kan+2+an)即k(an+3-an+2)+k(an+1-an)的约数,从而推出d是kan+1+an-1的约数,也是kan+2+an与kan+1+an-1的公约数;依此类推,d是ka4+a2与ka3+a1的约数;最终导出d是(k+1)-k即1的约数,这与d>1矛盾,从而结论.点评:本题考查等比数列的性质,着重考查学生综合分析与应用公示的能力,推理论证的能力,属于难题.