已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（1）设，求函数f（x）在[0，5]上的最大值和最小值；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围

网友回答

解：（1）当时f′（x）=3x2-10x-3=（x-3）（3x-1）
令f′（x）=0，得x=或x=3．
x0（0，）3（3，5）5f′（x）+0-0+f（x）
1-8
16∴f（x）在[0，5]上的最大值为16，最小值为-8．
（2）∵f′（x）=3x2-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x2-6ax+3=0可得，
令，求导函数可得
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴，
∴，此时满足△＞0，
故a的取值范围是．
解析分析：（1）求导函数，确定函数的单调性与极值，计算端点的函数值，即可得到结论；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．