解答题如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
（1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
（3）设，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=?，求实常数a的取值范围．
网友回答
解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．…（4分）
（2）由得 =，
即，猜测．??????…（2分）
证明：①当n=1时，可求得，命题成立；?…（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及，
得，
即
解得，（不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．???…（3分）
综上所述，对所有n∈N*，．??????…（1分）
（3）==．…（2分）
因为函数在区间[1，+∞）上单调递增，且，
所以．…（2分）
A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或，
故，，即 实常数a的取值范围为．…（2分）解析分析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．（2）由得 =，即，猜测，再用数学归纳法进行证明．（3）用裂项法求得的值为，由函数在区间[1，+∞）上单调递增，且，求得，再由 A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得实常数a的取值范围．点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．