解答题已知数列{an}的前n项和Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），且．
（I）求a2与a3；
（II）求证：数列是等差数列；
（III）试比较a1+2a2+3a3+…+nan与2n+1-n-2的大小，并说明理由．
网友回答
解：（Ⅰ）∵Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），
∴S2=4a2-2=a1+a2，S3=9a3-6=a1+a2+a3，
∵，
∴，．?????????????????????????????????????????????????????
（Ⅱ）证明：由 an=Sn-Sn-1?（n≥2），及?Sn=n2an-n（n-1）得?
Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），即? （n2-1?）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
∴=1，
∵，∴
∴{ }是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
∴，
又已知Sn=n2an-n（n-1），
∴=n2an-n（n-1），
∴．???????????????????????????????????????
∵2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+…+Cnn≥1+n，
∴，
∴，
∴
∴a1+2a2+3a3+…+nan≤+…
=
=
=
∵当n∈N*时，，即，
∴＜2n+1-n-2．
即a1+2a2+3a3+…+nan＜2n+1-n-2解析分析：（Ⅰ）利用Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），n分别取2，3代入，结合，可求a2与a3的值；?????????（II）由 an=Sn-Sn-1?（n≥2），结合条件可得 =1，结论得证．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，根据Sn=n2an-n（n-1），可得=n2an-n（n-1），从而有，利用?2n=（1+1）n=1+n+…+Cnn≥1+n，得，从而有，故a1+2a2+3a3+…+nan≤+…，利用分组求和即可得结论．点评：本题以数列递推式为载体，考查数列递推式的运用，考查等差数列的定义，考查放缩法，解题的关键是合理运用数列递推式．