设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2．（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（II）求f（x2）的取值范围．

网友回答

解：（I）求导函数可得f′（x）=
令g（x）=2x2+2x+a，，其对称轴为x=-．
由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为△=4-8a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜????????…（2分）
（1）当x∈（-1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x1）内为增函数；
（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；
（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴-＜x2＜0，a=-（2x22+2x2）
∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）
设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）（x＞-），…（8分）
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）
（1）当x∈（-，0）时，h'（x）＞0，∴h（x）在（-，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减?…（12分）
∴当x∈（-，0）时，h（x）＞h（-）=
故f（x2）=h（x2）＞．????…（14分）
解析分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；（II）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求f（x2）的取值范围．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．